Функции комплексного переменного Ряд Тейлора Ряд Лорана Сингулярный интеграл Аналитическая геометрия Найти общий интеграл дифференциального уравнения Вычислить пределы числовых последовательностей. Алгебра матриц

Курс лекций по математике Решение задач типового задания из учебника Кузнецова

Лекция 9

Ряд Лорана

 


Пусть функция f(z) аналитична в кольце  и непрерывна на границе. Точка z – внутренняя точка кольца. Проведем разрезы как показано на втором рисунке. В результате область аналитичности функции  становится односвязной, ограниченной контуром   Найдём интеграл: .

Курсовые по математике, физике http://avantagehall.ru/ Лабораторные и практические работы

По теореме Коши: или

 

Знак минус появляется из-за изменения направления обхода.

Совершим предельный переход:

Далее

так как . Далее найдем

 

где

Такой ряд можно почленно интегрировать, так как он равномерно сходящийся. Однако в данном случае коэффициенты  не являются коэффициентами ряда Тейлора. Таким образом,

Найдем второе слагаемое

Пусть m= - n, тогда n= - m:

Так как функция  голоморфна в кольце, ограниченном контурами L и C, то по теореме Коши:

то есть эти интегралы равны между собой и равны интегралу по любому замкнутому непересекающемуся контуру, лежащему в области аналитичности подынтегральной функции. Обозначим

Второе слагаемое будет иметь такое разложение:

Подставим всё это в формулу для , поменяв индекс m на n:

  - ряд Лорана.

Часть ряда Лорана  (правильная) – обычный степенной ряд, к которому применима теорема Абеля. Следовательно, ряд сходится в круге . Вторая часть  (главная) - также степенной ряд, равномерно сходящийся вне круга . Таким образом, ряд Лорана равномерно сходится в кольце .

Особые точки аналитических функций Если функция в точке а не является аналитической, то эта точка называется особой. Пусть в окрестности  точки а функция f(z) является однозначной и голоморфной. В этом случае особая точка называется изолированной особой точкой.

Теорема о вычетах В области D функция голоморфна повсюду за исключением m изолированных особых точек (если эти точки – полюсы, то такая функция называется мероморфной). Найдём интеграл: .

Обратные тригонометрические и гиперболические функции


Исследовать на сходимость числовые ряды