Функции комплексного переменного Ряд Тейлора Ряд Лорана Сингулярный интеграл Аналитическая геометрия Найти общий интеграл дифференциального уравнения Вычислить пределы числовых последовательностей. Алгебра матриц Препараты для животных

Курс лекций по математике Решение задач типового задания из учебника Кузнецова

Лекция 8

Ряд Тейлора

Рассмотрим односвязную область D и функцию f(z), голоморфную в области D и непрерывную в области D вплоть до границы L. Внутри области D выберем (произвольно) точки a и z, а на границе - точку t.

Сравним это выражение с геометрической прогрессией:

Получаем

  - формула Тейлора, где

Пусть L – граница окружности радиусом R с центром в точке а, z – некоторая точка внутри круга.

где М – максимум модуля функции f(z) в круге.

Так как <1, то при  числитель  и поэтому при . Таким образом, доказана

Теорема

Пусть функция f(z) является голоморфной в некотором круге с радиусом R и центром в точке а и непрерывна на его границе. Тогда для этой функции справедливо разложение в ряд Тейлора:

Определение: функция, разложимая в ряд Тейлора в окрестности точки a, называется аналитической в этой точке. Если функция разложима в ряд Тейлора во всех точках области D, она называется аналитической в области D.

По доказанному выше, всякая голоморфная функция одновременно является аналитической. Поэтому ниже эти термины используются как синонимы.

Теорема единственности разложения в ряд Тейлора

Степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

Доказательство

Исходное соотношение

Пусть R – радиус сходимости, такой, что для всех граничных точек правая часть сходится. В этом случае ряд будет сходиться и внутри круга, и его сумма, по ранее доказанному, будет голоморфной функцией.

Пусть z=a. Тогда:

Некоторые основные элементарные функции (продолжение)

Определение: экспонента, синус, косинус, гиперболические синус и косинус определяются следующими разложениями:

Эти ряды получаются из соответствующих рядов для функций действительной переменной заменой действительного аргумента x на комплексный аргумент z. Все введенные функции являются аналитическими на всей комплексной плоскости.

Положим , где  - действительное число, и получим

формула Эйлера.

С использованием формулы Эйлера комплексное число можно представить в экспоненциальной форме

Можно получить и другие формулы, например, следующую, которая устанавливает связь между гиперболическим и тригонометрическим синусами

 

Свойства экспоненциальной функции

Лемма

Если аналитическая функция удовлетворяет уравнению  при условии , то для нее справедливо соотношение .

Доказательство

Непосредственной проверкой устанавливаем, что это равенство выполняется при . Так как функция  - аналитическая, то левую и правую части равенства можно разложить в степенные ряды по переменным  в окрестности точки . Условием выполнения доказываемого соотношения при произвольных значениях  будет равенство всех соответствующих коэффициентов рядов. Но так как эти коэффициенты выражаются через частные производные от левой и правой частей при , приходим к равенству

  при 

Докажем справедливость этого равенства. Найдем частные производные по   и  для левой и правой частей

Аналогично

Далее

Таким образом, частные производные от левой части совпадают с самой функцией. То же самое справедливо и для правой части, что доказывает лемму.

Теорема

Для экспоненциальной функции справедлива формула .

Доказательство

Экспоненциальная функция удовлетворяет условиям леммы:

откуда следует утверждение теоремы.

Следствие

Пусть , тогда

Теорема Коши для многосвязных областей Пусть область D – двусвязная, иными словами, ее нельзя стянуть в точку за счет деформации граничного контура . Пример такой области приведен на рисунке: внутри области  содержится область , ограниченная контуром Г.

Производные голоморфной функции

Первая теорема Вейерштрасса Пусть имеется некоторый равномерно сходящийся в односвязной области   ряд , состоящий из голоморфных функций. Тогда сумма ряда S(z) – также голоморфная функция.


Исследовать на сходимость числовые ряды