Функции комплексного переменного Ряд Тейлора Ряд Лорана Сингулярный интеграл Аналитическая геометрия Найти общий интеграл дифференциального уравнения Вычислить пределы числовых последовательностей. Алгебра матриц

Курс лекций по математике Решение задач типового задания из учебника Кузнецова

Алгебра матриц.

Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,

 а11 а12 а13…а1п

а21 а22 а23…а2п

……………… = Ам*п= //аij//

ам1 ам2 ам3…амп  , где

m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Разновидности матриц.

Матрица называется прямоугольной, если m≠n.

Матрица называется квадратной, если m=n.

Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.

Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.

Например, 1) 1 2 3 = А2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)

 0 –1 5

2) 1 2 - квадратная матрица.

 3 4

(1 0 3 5, -1) – матрица строка.

 7

12 матрица столбец.

 5

 3

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.

Например,  1 0 0

0 –2 0

0 5

Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.

1 0 0

Е = 0 1 0

 0 0 1 .

Алгебра матриц.

Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

обозначение (i = ) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.

2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij// называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n = Am*n + Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.

Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5

 3 1 –6 , 1 –6 4 , то

А+В = 1 –2 4 -3  2 5 1-3 -2+2 4+5 -2 0 9

 3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6 6+4 4 –5 –2

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу Ве*п называется матрица См*п (Ам*е*Ве*п=См*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»:

сij =aijbij + ai2b2j +…+ aiebej

(i= ; j= ) , т.е. для вычисления сij следует элементы i – строки левой матрицы Ам*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой матрицы Ве*п и полученные произведения сложить.

Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.

Замечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ≠ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А = В =

Решение: АВ=С

 


С= * = = 

С11=1*3+2*2=7;

С12=1*4+2*(-1)=2

С13=1*1+2*(-2)= -3

С14=1*3+2*4=11

С21=2*3+4*2=14;

С22=2*4+4*(-1)=4

С23=2*1+4*(-2)= -6

С24=2*3+4*4=22

С31=3*3+1*2=11

С32=3*4+1(-1)=11

С33=3*1+1*(-2)=1

С34=3*3+1*4=13

 


Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,

 В = 2 1 3 4

  1 3

Сравним эти произведения.

1) С=АВ= 1 2 2 1 4 7

 3 4  1 3 10 15 

С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;

С21 = 3*2+4*1=10; С22 = 3*1+4*3=15

 1 3 3 4 10 14

d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8

d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14

Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В=

Решение: АВ=(4 0 -2 1)*  =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)

Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.

Основные свойства операций над матрицами:

А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат.

Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.

Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3

 1 3 4 ,

Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?

Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55  90)

 1 3 4

Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.

Второе – на 55 тыс. руб.

Третье – на 90 тыс. руб.


 Тема 8. Понятие множества.

Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается

В С А.

Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.

Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}

Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.

Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.

Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

  А∩В = {6, 8}

 А \ В = {1, 3}

Очевидно, что N С Z C Q C R

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.

Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно:

/х/=

По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.

Свойства абсолютных величин:

 1. │х+у│ ≤ │х│+│у│,  2. │х-у│ ≥ │х│ - │у│,

 3. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│

Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε< -│х│≤ х ≤│х│<ε, или -ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε).

Рассмотрим неравенства │х-а│<ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а - ε<х<а+ε.

Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.

Интервал (а – ε, а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<ε (где ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон, буква греческого алфавита).


Тема 9.

Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

ƒ – закон соответствия, знак функции.

Пусть Х и У множества вещественных чисел.

Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1

Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞).

Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

  х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции.

Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках

х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.

Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0;  f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | - 1| / 1= 1;

 f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.

f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.

Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1.

Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t.

Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2 – 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 - 2 = 3а4 – 5а2 + 1.

2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2.

Например, у = х2 (Рис.1); у =  (Рис.2)

 

Г) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:

  1, если х – рациональное число.

 f(х) =

 0, если х – иррациональное число.

Например, у = )/(sin2х+3) или у = 2 - tg х.

Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.

в) Иррациональная функция, например, у =  + х2.

 2 класс трансценденных функций.

а) у = ах, а > 0, а ≠1, показательная функция,

б) у = logах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,

в) все тригонометрические функции,

г) все обратные тригонометрические функции,

д) функции вида у = хL , где L – иррациональное число. Например, у = хπ.

Пример 3. Вычислить с точностью  интеграл . Решение. Запишем разложение функции  в ряд Маклорена

Пример. Найти корни уравнения х²+x+1=0. Находим дискриминант Д= 1 – 4 = –3 < 0; 2) Находим корни уравнения х = (-1+)/2 = (-1+i)/2; х = (-1-)/2 = (-1-i)/2;

Пример 1. 1)Написать уравнение эллипса, если а=4, в=3; 2)Найти координаты фокусов; 3)Найти Е.

Пример. Вычислить определитель  двумя способами.


Исследовать на сходимость числовые ряды