Функции комплексного переменного Ряд Тейлора Ряд Лорана Сингулярный интеграл Аналитическая геометрия Найти общий интеграл дифференциального уравнения Вычислить пределы числовых последовательностей. Алгебра матриц

Курс лекций по математике Решение задач типового задания из учебника Кузнецова

Лекция 2

Функции комплексного переменного

Рассмотрим две области:

 


Пусть известен закон, позволяющий по известным координатам некоторой точки из области D получить координаты точки в области Е. Если такой закон известен, то говорят, что задано отображение области D на область Е. Если каждой точке из области D соответствует только одна точка в области Е, то отображение называется однозначным, в противном случае – многозначным. Функция, осуществляющая однозначное отображение, называется однозначной функцией.

Закон отображения имеет вид:

Если отображения 1 и 2 – однозначны, то отображение называется взаимно однозначным.

Построим комплексную функцию

Отсюда

Таким образом, в общем случае функция является функцией двух комплексных переменных. Будем рассматривать частный случай, когда w=w(z). Такие функции – функции одной комплексной переменной - называются функциями комплексной переменной (функциями комплексного переменного). Если не оговорено противное, предполагается, что эти функции однозначные. Отображения, осуществляемые функциями комплексной переменной, называются конформными отображениями

Предел функции комплексного переменного

Пределом функции f(z) при z®z0 называется комплексное число с, такое, что  , для которого при  будет выполняться :

. При этом путь, по которому , - любой. Предел может быть конечным числом, бесконечностью и не существовать.

Если .

.

Все теоремы о пределах для функций двух действительных переменных справедливы и для функции комплексной переменной.

Непрерывность в точке

Функция f(z) определена в точке , если в этой точке определены действительная и мнимая части этой функции.

Пусть в точке  и некоторой ее окрестности функция f(z) определена. Функция f(z) непрерывна в точке , если выполняется равенство: .

Если функция непрерывна во всех точках области D, то она называется непрерывной в области D.

Дифференцирование функций комплексной переменной

Производная функции комплексной переменной определяется следующим образом:

Будем считать, что функции  и  регулярны в области : непрерывны и имеют непрерывные частные производные по аргументам  и . Установим ограничения на функции u и v, которые должны выполняться, чтобы можно было дифференцировать функцию w по аргументу z. Функция  должна быть функцией только одного комплексного аргумента - . Выше было показано, что комплексная функция, построенная из двух функций двух действительных переменных

при переходе к комплексным аргументам записывается в виде . Чтобы выполнялось соотношение , необходимо и достаточно выполнения условия

Получим

Полученные равенства называются условиями Коши-Римана.

Предположим теперь, что функции  дважды дифференцируемы в области .

Исключим v из соотношений Коши-Римана:

Исключим теперь u:

Таким образом, функции  удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, они являются гармоническими функциями.

Комплексные числа Комплексным числом называется число вида x+iy, где x и y – действительные числа, а i – символ, который называется мнимой единицей. Числа x и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа.

Конформные отображения

Интегрирование функций комплексного переменного Пусть в некоторой области  на плоскости xOy задана кусочно-гладкая непересекающаяся кривая АВ (контур Г). Предположим, что на этом контуре известна функция комплексного переменного F(t), где t – комплексная переменная, меняющаяся вдоль Г.


Исследовать на сходимость числовые ряды