Функции комплексного переменного Ряд Тейлора Ряд Лорана Сингулярный интеграл Аналитическая геометрия Найти общий интеграл дифференциального уравнения Вычислить пределы числовых последовательностей. Алгебра матриц

Курс лекций по математике Решение задач типового задания из учебника Кузнецова

Аналитическая геометрия

Задача 1. Написать разложение вектора по векторам

Задача 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

векторы и коллинеарны.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами и .

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах  и .

Задача 5. Компланарны ли векторы , и .

векторы , и не компланарны.

Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках  и его высоту, опущенную из вершины  на грань .

 

Задача 7. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

 

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору .



Т.к. вектор искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно

Задача 9. Найти угол между плоскостями.

Задача 10. Найти координаты точки , равноудаленной от точек и .

 по условию

Отсюда,

Задача 11. Пусть -коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точка принадлежит образу плоскости ?

При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость переходит в плоскость .

 

Таким образом, точка не принадлежит образу плоскости .

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

Найдем координаты одной из точек, через которые проходит прямая .

Зададим координате значение .

Итак, получается точка с координатами

Уравнение прямой

Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Подставим в уравнение плоскости

Таким образом, координаты искомой точки

Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно прямой.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

- координаты точки пересечения.

Отсюда,

Следовательно, - искомая точка.

Векторный анализ Задача. Найти производную скалярного поля в точке  по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

Построить графики функций с помощью производной первого порядка

Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков.


Исследовать на сходимость числовые ряды