Задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях. Линейные параметрические цепи Уравнение Матье Анализ колебаний в нелинейных цепях Методы малого параметра

Курс лекций по физике. Примеры решения задач курсовых зачетов

КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ПРАМЕТРИЧЕКИХ СИСТЕМАХ.

Линейные параметрические цепи.

линейные спектра входного сигнала, при прохождении через линейные параметрические цепи.

В линейных инвариантных цепях проходит только лишь деформация спектра, т.е. спектральная составляющая входного сигнала изменят лишь свою амплитуду, а новых спектральных составляющих нет. В связи с этим основные , наиболее интересные цепи на базе линейных инвариантных во времени цепях получить не удается (модуляцию, стабилизацию, детектирование  и др.).

 Линейные параметрические цепи, это цепи у которых наряду с деформацией спектра происходит и его обогащение. К параметрическим цепям относятся цепи, у которых один или несколько элементов зависит от параметра – времени в явном виде. Всё это приводит к тому что передаточная функция характеризующая цепь и связывающая входной и выходной сигналы становится функцией времени.

 Uвых(t)=K(t) Uвх(t).

Если считать, что K(t) является периодичной функцией, и Uвх(t) раскладывается в ряд Фурье (если это и не выполняется, то разложение будет выполнено с помощью разложения в интеграл Фурье)

 Sвх(t)=eјnΩt k(t)=eјmθt

 тогда Sвых(t)=K(t)Sвх(t)=mej(nΩ+mθ)t

ωnm=nΩ+mθ, т.е. в спектре выходного сигнала возникает гармонические составляющие такие, какие не входили не в Sвх(t) ни в K(t) - комбинационные частоты. Это свойство линейных параметрических цепей принципиально отличает их от линейных инвариантных систем.

  СП параметра

 СП Uвх

 СП Uвых

  В произвольной линейной параметрической системе при взаимодействии входного колебания с колебанием параметра системы, наряду с деформацией спектра происходит обогащение спектра гармониками комбинационных частот.

 В радиотехнике часто используют параметрические преобразования. И на основе использования параметрического элемента получают и модуляцию, и преобразование частоты, и синхронное детектирование, и умножение и деление частоты, а так же параметрическое усиление и генерирование колебаний. В качество параметрического элемента можно взять полупроводниковый диод, который имеет, вообще говоря, не линейную характеристику, но если входной сигнал имеет малую амплитуду колебаний (по сравнению с колебанием параметра), то вольтамперную характеристику диода можно линеаризовать. Ток полупроводникового диода можно преставать разложением в ряд Тейлора

ic=i(Uy+Uc)=i(Uy)+i׳(Uy)Uc+(i׳׳(Uy)/2)Uc2+…

Тогда если Uc мало, можно пренебречь слагаемыми, более высокого порядка по Uc и получаем для приращения тока через диод

 

 ic=i[Uy(t)]Uc=Sдиод[Uy(t)]Uc.

преобразователь частоты на диоде и триоде.

 Колебательные системы могут быть параметрическими не только во времени, но и в пространстве. При взаимодействии входного сигнала с такими системами происходит обогащение спектра пространственных частот, что приводит к появлению совершенно новых свойств в таких системах.

Условия (7) позволяют получить простые приближенные выражения для полей   и , описывающие дипольное излучение в вакууме в так называемой дальней (или волновой) зоне. Эти выражения имеют вид

  (8)

где - единичный вектор, направленный от диполя в точку наблюдения поля. Структура поля совпадает с найденной ранее из анализа картины силовых линий, если учесть, что .

  Сделаем анализ полученных выражений.

Вектора  и  ортогональны друг другу и связаны соотношением . Электромагнитное поле излучения поперечно.

Полученные решения, являются запаздывающими, что определяется конечной скоростью распространения возмущений поля.

В дальней зоне волна является сферической, ее амплитуда ~.

Вычислим характеристики излучения, считая, что диполь совершает гармонические колебания по закону

 .  (9)

В данном случае мы пренебрегли затуханием колебаний. Найдем дипольный момент

, (10)

отсюда

.

Для момента времени  

.  (11)

Подставим полученные выражения в (8), получим для модуля вектора напряженности магнитного поля следующую формулу

,  (11)

аналогичное выражение получаем для напряженности электрического поля

,  (12)

индекс xy означает, что вектор лежит в плоскости (xy).

Амплитуда колебаний 

  (13)

зависит от угла q, определяющего направление излучения.

В оптическом диапазоне используется энергетическая характеристика, которая называется интенсивностью. Интенсивность равна средней плотности потока энергии электромагнитной волны и определяется выражением

.  (14)

Подставив значение амплитуды из выражения (13), получим

  . (15) 

Введем

  . (16)

Получим для интенсивности следующую зависимость от направления

  . (17)

Из выражения (15) следует, что интенсивность излучения ~w4, следовательно, наибольшую интенсивность имеют волны высокой частоты или малой длины волны. Это закон Релея, он в частности объясняет голубой цвет неба, так как наиболее сильно рассеиваются волны синей и фиолетовой частей солнечного спектра. Кроме того, излучение имеет ярко выраженную

диаграмму направленности (рис.5). При , амплитуда и интенсивность излучения имеют максимальное значение, а при равны 0, то есть в направлении колебаний осциллятор не излучает.

Прохождение сигнала через параметрические цепи первого порядка. Напомним, что к параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид

Аксиоматики теории цепей в параметрическом случае. Первичными понятиями являются напряжение U и ток i (элементы UH и UT, законы Киргофа – являются универсальными. Отличие в элементах R, L и С)

Пример. Ко входу параметрической R – цепи с коэффициентом передачи, рассмотренном в предыдущем примере, предложено гармоническое колебание 

  Уравнение для тока имеет вид R i + i(τ) dτ = e(t) .

Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы. Энергетическое рассотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.


Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье