Задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях. Линейные параметрические цепи Уравнение Матье Анализ колебаний в нелинейных цепях Методы малого параметра

Курс лекций по физике. Примеры решения задач курсовых зачетов

Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях.

  Рассмотрим цепь, в которой в момент времени t=0 возбуждаются свободные колебания. Они обусловлены напряжениями, до которых в момент t=0 заряжены емкости цепи – uC(0) и токами протекающими в тот же момент через индуктивность – iL(0). Совокупность значений uC(0) и iL(0) составляет начальные условия задачи, которые при записи системы уравнений в операторной форме определяет правые части уравнений. Видно, что определение свободных колебаний в цепи является по существу задачей Коши.

 Пусть среди всех колебаний напряжений и токов в цепи нас интересует одно Sвых(t), находящееся, например, в k-й части цепи. Решая систему уравнений по правилу Крамера, получим решение для искомого изображения в виде

 

 Sвых(p)= (1.29)

где ∆(p) и ∆k(p) – определители системы, составленные по правилу Крамера; A(p) – сомножитель, присутствующий в тех случаях, когда размерность искомого колебания отлична от размерности функций, выбранных в качестве исходных при составлении системы уравнений. Выражение для Sвых(p) является дробно-рациональной функцией

 , (1.30)

причем m≤n, bk и ak – действительные числа.

V(p) – характеристический многочлен электрической цепи. Его корни полностью определяют характер решения – собственные колебания. M(p) – многочлен, определяющий конкретное свободное колебания, порожденное конкретными начальники условиями.

 Искомое свободное колебание Sвых(p) находим, осуществляя обратное преобразование Лапласа.

 Ограничимся важным для практики случаем, когда корни характеристического многочлена V(p) не имеют кратных корней, иначе решение получается более громоздким, но не содержащим принципиально ничего нового по сравнению с рассматриваемым случаем. Поскольку коэффициенты a1, a2 … an, многочлена V(p) вещественны, его корни принимают действительные pk и попарно комплексно-сопряженные  и   значения. Причем в случае пассивных устойчивых цепей действительные части корней многочлена являются отрицательными величинами ; ; . Тогда решение задачи, определяемое выражением

  (t≥0), (1.31)

приводит к виду

соs(ωlt+φl), (t≥0) (1.32)

где первая сумма соответствует действительным корням  pk= - δk и описывает экспоненциально убывающие составляющие свободных колебаний. Вторая сумма соответствует парам комплексно-сопряженных корней и описывает убывающие колебательные составляющие.  ψl=arg. Из полученного выражения видно, что свободные колебания в устойчивых цепях состоят из совокупности убывающих составляющих и в целом являются затухающими.

 В случае кратных корней решение имеет более громоздкий вид, но ничего нового принципиально не содержит. Если характеристический полином V(p) имеет кратные нули, тогда Sвых(t) представляется следующей суммой

 Sвых(t)= , (t ≥ 0),

где mk – кратность k-го нуля,

  Akr = .

Каждому m - кратному нулю, лежащему на действительной оси, в этой сумме соответствует группа слагаемых вида

  ,

а каждой m – кратной паре комплексно-сопряженных нулей – группа слагаемых вида

 2

 

Корни характеристического уравнения V(p) = 0 имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда положительны все определители последовательности

В цепях составленных из элементов активного сопротивления, корни характеристического многочлена цепи V(p) являются чисто мнимыми  pl=iωl. А свободные колебания описываются выражением

,  (1.33)

которому соответствуют незатухающие стационарные колебания.

  Если хоть у одной пары комплексно-сопряженных корней характеристического многочлена некоторой цепи V(p) действительная часть окажется положительной, pl =+δl± iωl, то в решении появится нарастающая колебательная составляющая Sleδltcos(ωlt+ψl). Цепи, для которых это имеет место, называют неустойчивыми. К их числу относятся всевозможные автогенераторы. В своем составе эти цепи обязательно должны иметь дополнительные источники энергии и электронные приборы (ЭП). Следует заметить, однако, что линейная теория неустойчивых цепей является верной, пока колебания в цепи настолько малы, что они не выходят за пределы линейных областей характеристик ЭП.

 Одной из важнейших задач, возникающих при проектировании самых разнообразных цепей, является задача определения принадлежности цепи к устойчивым или неустойчивым цепям. Видно, что эта задача сводится к исследованию расположения корней характеристического многочлена цепи V(p) на комплексной плоскости. Если все корни V(p) располагаются в левой полуплоскости – цепь устойчива.

 Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи не прибегая к вычислению корней ее характеристического многочлена, называется критериями устойчивости. Один из них – критерий устойчивости Раусса-Гурвица – формулируется следующим образом.

 Корни характеристического уравнения V(p)=0 имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда положительны все определители последовательности

Δ1=a1; Δ2=; Δ3=; ; Δn=; (1.34)

 Алгоритм решения задачи анализа свободных колебаний

Анализируя состояние цепи в момент времени t=0 определяем начальные условия – совокупность значений величин uc(0) и il(0).

Составляем схему цепи в операторных величинах. Ненулевые начальные условия в схеме будут отражены источниками с соответствующими операторными задающими характеристиками.

Выбираем метод и записываем систему уравнений (одно уравнение) в операторной форме.

Находим решение уравнений и представляем изображение искомого колебания в виде отношения многочленов.

Исследуем характеристический многочлен. При необходимости используем критерий устойчивости Раусса-Гурвица.

На основании общего вида решения задачи анализа, в зависимости от расположения корней V(p), определяем структуру решения.

Определяем коэффициенты решения и записываем его в окончательном виде. Строим график полученной функции.

Анализируем полученный результат.

В-9

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний Т=0.4 с, амплитуда А=20 мм, начальная фаза φ=0. Найти скорость v точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия х=25 мм.

Катушка с индуктивностью L=30 мкГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин S=0,01 м2 и расстоянием между ними d=0,1 мм. Найти диэлектрическую проницаемость ε среды, заполняющей пространство между пластинами, если контур настроен на длину волны λ=750 м.

Какую энергетическую светимость Rэ имеет затвердевающий свинец? Отношение энергетических светимостей поверхности свинца и абсолютно черного тела для этой темп-уры k=0,6.

Кинетическая энергия α-частицы, вылетающей из ядра атома 84214Po при распаде, Wk=7,68 МэВ. Найти: а) скорость v α-частицы; б) полную энергию W, выделяющуюся при вылете α-частицы; в) число пар ионов N, образуемых α-частицей, принимая, что на образование одной пары ионов в воздухе требуется энергия W0=34 эВ; г) ток насыщения Iн в ионизационной камере от всех α-частиц, испускаемых полонием. Активность полония а=3,7·104 Бк.

Найти  энергию связи W ядра изотопа лития 73Li.

Определите бомбардирующую частицу Х в первой в истории ядерной реакции, осуществлённой Э. Резерфордом: Х + 147N à 178O + 11p

Найти угол φ между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшается в 4 раза.

В-10

Найти разность фаз Δφ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии l=2 м друг от друга, если длина волны λ=1 м.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С=25 нФ и катушки с индуктивностью L=1,015 Гн. Обкладки конденсатора имеют заряд q=2,5 мкКл. Написать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменение разности потенциалов U на обкладках конденсатора и тока I в цепи. Найти разность потенциалов на обкладках и ток в цепи в моменты времени Т/8; T/4;T/2. Построить графики этих зависимостей в пределах одного периода.

С какой скоростью v должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны λ=520 нм?

Мощность излучения абсолютно черного тела N=10 кВт. Найти площадь S излучающей поверхности тела, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λ=700 нм.

В реакции 714N (α,p) кинетическая энергия α-частицы W1=7,7 МэВ. Под каким углом φ к направлению движения α-частицы вылетает протон, если известно, что его кинетическая энергия W2=5,7 МэВ.

Найти потенциал ионизации Ui атома водорода.

Под каким углом iБ к горизонту должно находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были наиболее полно поляризованы?

Применение операторного метода для анализа процессов в цепях сосредоточенными элементами. При использовании операторного метода для решения задач теории цепей удобно осуществить преобразование Лапласа для основных соотношений, составляющих аксиоматику теории цепей. Это позволяет миновать этап составления интегро-дифференциальных уравнений.

Колебания и волны Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах. Преобразование Лапласа и его основные свойства.

Примеры анализа свободного колебаний

Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами В технике радиосвязи, радиолокации, в устройствах техники СВЧ, микроэлектроники и других широкое применение получили элементы, у которых размеры сравнимы или больше длины волны l>λ, К таким элементам относятся линии передачи энергии (двухпроводные, коаксиальные и микрополосковые линии, волноводы и др.).

Линия без потерь


Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье