Задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях. Линейные параметрические цепи Уравнение Матье Анализ колебаний в нелинейных цепях Методы малого параметра

Курс лекций по физике. Примеры решения задач курсовых зачетов

Методы малого параметра. Метод последовательных приближений.

 Уже в прошлом столетии существовал математический аппарат, который при надлежащем развитии и обобщении мог бы быть применим для исследования нелинейных колебаний, во всяком случае, для колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным обычно называются колебания, для которых соответствующее дифференциальное уравнение хотя и является нелинейным, но содержит некоторый параметр ε, входящий в это уравнение так, что при равенстве нулю этого параметра, нелинейное дифференциальное уравнение, вырождается в линейное с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр ε является «малым». Говоря о таком математическом аппарате, имелось в виду, прежде всего теория возмущений, разработанная для изучения движения планет.

 Идея метода последовательных приближений заключается в представлении решения нелинейного уравнения, содержащего малый параметр ε в виде степенного ряда по малому параметру ε.

 x(t) = x0 + εx1 + ε2x2 + ε3x3 + …

 Причем быстро выяснилась существенная трудность, состоящая в невозможности использования полученных решений за достаточно длительный промежуток времени. Дело в том, что обычные разложения по степеням малого параметра приводят для искомых величин, характеризующих движение, к приближенным формулам, в которых наряду с членами, гармонически зависящих от времени, присутствуют еще и так называемые секулярные слагаемые вида

 tmsinωt, tmcosωt

в которых время t входит вне sin или cos. Вследствие этого область применимости получаемых приближенных формул ограниченна слишком коротким интервалом времени.

 Рассмотрим конкретное уравнение

 ; где α>0 и γ>0. (1)

которое может интерпретироваться как уравнение незатухающих колебаний, некоторой массы m, притягиваемой к положению равновесия восстанавливающей упругой силой

 p(x) = αx + γx3. (2)

Будем считать, что . Причем ε мало. Образуем приближенное решение с точностью до величин второго порядка малости

 х(t) = x0(t) + εx1(t).  (3)

Подставим (3) в (1) и, группируя слагаемые по степеням малого параметра ε находим

 ; (4)

 ; (5)

Из (4) находим х0 = аcos(ωt + θ) (6)

и подставляя в правую часть уравнения (5), получаем

   

 . (7)

Из математического анализа известно, что если правая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид еpx(A0xs + A1xs-1 + … + As), то если р не является корнем характеристического уравнения, частное решение нужно искать в виде

  

 Если же р является корнем характеристического уравнения кратности α (этот случай называется особым или резонансным), то частное решение надо искать в виде

 

 

Так как в нашем случае для уравнения (7) мы имеем резонансное решение, то после отыскания коэффициентов находим

x(t) = acos(ωt + θ)  (9)

 В найденном решении имеется секулярное слагаемое

 

и, следовательно, колебания представленные формулой (9), должны раскачиваться, а их амплитуда при неограниченном возрастании t должна неограниченно возрастать, что находится в явном противоречии с характером точного решения уравнения (1), которое выражается через элептические функции и имеет следующий вид:

 x(t) = xmax cn , где cn, K обозначают соответственно элептический косинус и полный элиптический интеграл первого рода.

 Ряд (9) из-за присутствия секулярных членов не пригоден не только для количественного, но и для качественного анализа поведения решения уравнения (1) на всей действительной оси. Заметим еще раз, что наличие в разложении (9) секулярных членов ни в коем случае не означает, что уравнение (10) вообще не имеет периодических решений. Это свидетельствует только о несоответствующем выборе разложения.

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО  ПОЛЯ

Введение основных характеристик электромагнитного поля: вектора напряженности электрического поля  и вектора магнитной индукции - целесообразно осуществить, рассматривая действие электромагнитного поля на точечный заряд.

 Точечным заряд считают тогда, когда размеры тела, на котором он находится, малы по сравнению с расстоянием до источника исследуемого поля. Изложение вопроса о напряженности электрического поля сопровождают физическим экспериментом. Сначала целесообразно установить пропорциональность силы, действующей на заряд со стороны электромагнитного поля, этому заряду, а затем — зависимость действующей силы от поля. Принципиально важно показать, что отношение силы, действующей на заряд, к этому заряду является постоянной величиной F/q = const и не зависит от значения заряда.

Формулируют определение напряженности электрического поля: напряженность электрического поля равна отношению силы, с которой электромагнитное поле действует на точечный заряд, к этому заряду ().

Силовую характеристику магнитной составляющей электромагнитного поля (вектор магнитной индукции В) дают при рассмотрении магнитного поля тока; ее можно ввести по-разному: а) по действию на движущийся заряд; б) по действию на проводник с током; в) через момент сил, действующих на контур с током; г) из закона электромагнитной индукции. Выбор способа введения данной характеристики электромагнитного поля определяется логикой изложения учебного материала. Необходимо указать на следующее. Так как электрическое и магнитное поля — две стороны единого электромагнитного поля, то, вероятно, целесообразно силовую характеристику магнитного поля вводить по аналогии с силовой характеристикой электрического поля. 

В школе рассматривают случай, когда на движущийся заряд действует максимальная сила. Модуль вектора магнитной индукции определяется по формуле ,

Возможны и другие методические пути введения вектора магнитной индукции, а именно:

а) с помощью силы Ампера, действующей в магнитном поле на проводник длинной Δl, сила тока в котором I

б) по действию магнитного поля на контур с током. При этом

в) на основе закона электромагнитной индукции , но Ф=BS, а ΔФ=BΔS, что даст возможность определить модуль вектора магнитной индукции, если измерена ЭДС индукции, известно изменение площади контура за время Δt.

Метод фазовой плоскости – графический метод, позволяющий качественно исследовать колебания в цепях, описываемые дифференциальными уравнениями 2го порядка. Существует несколько вариантов методов фазовой плоскости, применяемые в зависимости от постановки задачи.

Метод гармонической линеаризации (МГЛ). Метод МГЛ применим для исследования, как свободных, так и вынужденных колебаний в нелинейных цепях (системах).

Метод медленно меняющихся амплитуд (МММА). Вывод укороченных уравнений.

Метод  малого параметра. Исследование МММА колебаний в автогенераторе на туннельном диоде. Среди нелинейных дифференциальных уравнений в теории колебаний особую роль играет уравнение Ван-дер-Поля 

Метод изоклин

Особая точка – устойчивый фокус

Проиллюстрируем один из вариантов метода фазовой плоскости на примере анализа цепи с туннельным диодом


Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье