Задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях. Линейные параметрические цепи Уравнение Матье Анализ колебаний в нелинейных цепях Методы малого параметра

Курс лекций по физике. Примеры решения задач курсовых зачетов

Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье.

 В предыдущем параграфе мы рассмотрели энергетический способ исследования параметрических систем. Данный L метод, позволил вывести формулы, определяющие значение коэффициента модуляции, при котором в колебательной системе возможно либо усиление колебаний, либо стационарный режим, либо нарастающие колебания.

  В данном параграфе рассматривается другой часто применяемый способ исследования колебаний в параметрических системах, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка:

 Анализ процесса в рассматриваемом параметрическом контуре, основан на сведение уравнений, описывающих колебания в контуре, к уравнению Матье:

 - уравнение Матье.

Пусть параметрическая емкость колебательного контура изменяется по закону

 

 Запишем с помощью МКТ дифференциальное уравнение параметрических колебаний:

 Мы получили интегро-дифференциальное уравнение. Для того чтобы получить дифференциальное уравнение, сделаем замену переменных:

 , которое позволяет перейти к дифференциальному уравнению 2го порядка ( введем новые обозначения ), следующего вида:

 , для того, чтобы

избавиться от производной 1го порядка, сделаем следующую замену переменных

 ,

 .

 

Подставляя найденные q(t),  и  в полученное дифференциальное уравнение, получаем


 

Введем безразмерное время:

 

 





 У нас уравнение с периодическими коэффициентами, причем коэффициенты a и b – положительные величины. Кроме того, из вида a и b видно, что b<a, т.к. m<1.

 Решение уравнения Матье, строится с помощью теоремы Флоке, которая гласит, что для уравнений типа Хилла (у которого коэффициенты являются периодическими функциями), решение является почти периодическими функциями:

Отсюда следует, что функция  удовлетворяет теореме Флоке, если φ(r) периодическая функция.

 Этому уравнению удовлетворяет и функция y2=e -μrφ(r).

Возникли периодические функции, которые называются функциями Матье:
φ()=φ(,a,b).

 μ= μ(a,b) – некий коэффициент, зависящий от параметров a и b.

 Причем a и b – вещественные положительные числа. 

 может быть:

а) если , то  - описывает стационарные решения.

б) если  - вещественная величина, то решения расходятся, и следовательно они описывают нарастающие колебания.

в) если  - мнимая величина, то решения будут сходящимися, а колебания затухающими.

 Рассмотрим однородное уравнение Матье.

  , в котором устремим коэффициент b к нулю. Тогда уравнение примет вид:

 ,

решение, которого выражается через тригонометрические функции

 

 Вид решения для у(τ) не изменится (т.е. будет выполняться теорема Флоке), только если . Т.е. только в этом случае сдвиг фазы на  приведёт к тому, что значение функции не изменится.

 Отыскание  в общем случае проблема. Поэтому строятся диаграммы значений параметров а и в, при которых решение для у(τ) будет иметь различный характер поведения. 

 μ 

 μ

 

Т.к. функции у1(τ) и у2(τ) удовлетворяют теореме Флоке, тогда решение уравнения Матье будет представляться как комбинация этих двух функций:

 

В связи с тем, что , тогда коэффициент в мал, и можно предположить, что у(τ)  не сильно отличается от тригонометрической функции (случай когда в=0):

 

с учетом того, что  тогда

 

 

 Если частоты модуляции и накачки, а также параметр модуляции такие, что решения попадают в нижнюю часть зоны, то энергия отклика превышает начальную энергию. Т.е. у нас зона усиления регенеративного типа. Если попадает в верхнюю часть зоны, то эта зона где вносимая энергия превышает энергию потерь, и у нас возникнет режим автоколебаний. Для этих значений можно определить критическое значение параметра – mкр. Области помеченные звездочками, не имеют практического значения, т.к. там происходит еще большее затухание, т.т де регенерация.

 Выводы. Т.о. в целях получения параметрического усиления или возбуждения колебаний, следует использовать такое соотношение параметров а и в(т.е. ω0, λ и m), при котором решение соответствует областям неустойчивости. Если при этом коэффициент модуляции m меньше mкрn в системе можно осуществить регенеративное усиление. Если же m больше mкрn в системе происходит параметрическое возбуждение нарастающих колебаний, которые в дальнейшем ограничиваются какими-либо нелинейными элементами, которые неизбежно существуют в цепях.

 Вектор магнитной индукции — силовая характеристика магнитной составляющей электромагнитного поля. Магнитное поле действует только на движущийся заряд. Но на движущийся заряд действует и электрическая составляющая электромагнитного поля. Чтобы выяснить, как действует именно магнитная составляющая электромагнитного поля, необходимо выбрать такую систему отсчета, в которой электромагнитное поле проявляется лишь в магнитных взаимодействиях, т. е. только как магнитное, а электрическое поле отсутствует ( =0). С этой целью воспользуемся полем покоящегося постоянного магнита или полем проводника с током (проводник нейтрален, электрические поля всех отрицательных и положительных зарядов взаимно компенсируются, электромагнитное поле проводника с током — поле магнитное). И тогда по силе, действующей на фиксированный движущийся заряд, судят о силовой характеристике магнитной составляющей электромагнитного поля:

Модуль вектора магнитной индукции  в данной точке равен модулю силы, действующей на единичный положительный заряд, пролетающий через данную точку с единичной скоростью в направлении,  перпендикулярном вектору магнитной индукции .

Направление вектора магнитной индукции  таково, что сила, действующая на заряд, движущийся в данном направлении, равна нулю. В этом принципиальное различие в определении направлений вектора напряженности  и вектора магнитной индукции  (направление  совпадает с направлением силы, действующей в данной точке на положительный заряд).

При наложении полей в обычных условиях (если не учитывать, особые случаи нелинейной оптики, когда нарушается принцип суперпозиции) они не влияют друг на друга, а действуют на заряд независимо друг от друга. Результат действия этих полей рассматривают как действие на заряд результирующего, суммарного поля, напряженность которого в любой точке равна геометрической сумме напряженностей каждого из полей:

Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы электрических зарядов.

Для магнитных, как и для электрических, полей применим принцип суперпозиции. Если магнитное поле создается несколькими источниками, то вектор магнитной индукции результирующего поля в некоторой точке можно определить как геометрическую сумму векторов индукции полей, созданных отдельными источниками.

Параметрический генератор(параметрон). Схема параметрического генератора может быть осуществлена с параметрического усилителя.

Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе

Теорема Менли-Роу. Эта теорема играет фундаментальную роль в радиофизике и радиотехнике и позволяет, оценит энергетические возможности нелинейных и параметрических систем.

Параметрические умножение и деление частоты

Некоторые приближенные методы исследования процессов параметрических системах Метод «замороженного» параметра.


Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье